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가격결정 모델

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가격결정 모델 (Pricing Models)

ORE는 다양한 파생상품 유형에 대해 적절한 가격결정 모델을 제공합니다. 이 문서는 ORE에서 지원하는 주요 가격결정 모델과 그 특징을 설명합니다.

모델 개요

ORE는 상품 유형과 특성에 따라 다음 모델들을 사용합니다:

모델주요 용도자산 클래스
Black유럽형 옵션, 캡/플로어, 스왑션금리, FX, 주식, 상품
Shifted Black로그노멀 가정이 맞지 않는 경우금리, FX
SABR변동성 스마일 모델링금리, FX, 인플레이션
LGM (Linear Gauss Markov)베르무단/미국형 스왑션, 콜러블 본드금리
Hull-White베르무단/미국형 옵션금리
Barone-Adesi Whaley미국형 옵션 근사FX, 주식
Bachelier정규분포 가정의 옵션금리 (마이너스 금리)
LTSR (Linear Terminal Swap Rate)스왑션 가격결정금리
Brigo-MercurioCMS 스프레드 옵션금리

상세 모델 설명

Black 모델 (p.297)

가정: 로그노멀 분포, 일정한 변동성

주요 특징:

  • 유럽형 옵션의 표준 모델
  • 캡/플로어, 스왑션, FX 옵션, 주식 옵션에 적용
  • 변동성 스마일을 직접 모델링하지 않음 (단일 변동성 사용)

적용 상품:

  • 유럽형 스왑션
  • 캡/플로어
  • 유럽형 FX 옵션
  • 유럽형 주식 옵션

SABR 모델 (Stochastic Alpha Beta Rho)

가정: 확률적 변동성, 로그노멀 분포

주요 파라미터:

  • Alpha: ATM 변동성
  • Beta: 탄성 계수 (0~1, 0.5는 CEV)
  • Rho: 변동성과 기초자산 간 상관관계
  • Nu: 변동성의 변동성

장점:

  • 변동성 스마일 효과 모델링
  • 각 만기별/행사가별 변동성 일관성 유지
  • 시장 변동성 표면 피팅에 적합

적용 상품:

  • 캡/플로어 변동성 표면
  • 스왑션 변동성 표면
  • FX 변동성 표면
  • 인플레이션 캡/플로어

LGM 모델 (Linear Gauss Markov)

가정: 선형 가우시안 마르코프 프로세스

주요 특징:

  • 1요소 선형 모델
  • 해석적 솔루션 가능
  • 트리 구조를 통한 미국형/베르무단 옵션 평가

주요 파라미터:

  • Mean Reversion: 평균 회귀 속도
  • Volatility: 변동성
  • Calibration: 스왑션 시장 가격으로 보정

적용 상품:

  • 베르무단 스왑션
  • 미국형 스왑션
  • 콜러블 본드
  • 콜러블 스왑

Hull-White 모델

가정: 확장된 Vasicek 모델 (시간 의존적 파라미터)

주요 특징:

  • 평균 회귀 확률과정
  • 시간 의존적 변동성 및 평균 회귀
  • 트리 또는 유한차분법으로 수치해

적용 상품:

  • 베르무단 옵션
  • 미국형 옵션
  • 콜러블 본드

Barone-Adesi Whaley (BAW) 근사법

가정: 로그노멀 분포

주요 특징:

  • 미국형 옵션의 해석적 근사
  • 빠른 계산 속도
  • 정확도가 높은 근사치

적용 상품:

  • 미국형 FX 옵션
  • 미국형 주식 옵션

Bachelier 모델

가정: 정규분포 (이자율이 음수 가능)

주요 특징:

  • 마이너스 금리 환경에서 적합
  • 정규분포 가정

적용 상품:

  • 마이너스 금리 환경의 옵션
  • 금리 옵션 (EU 지역 등)

LTSR 모델 (Linear Terminal Swap Rate)

가정: 만기 스왑 레이트의 선형 모델

주요 특징:

  • 스왑션 가격결정에 특화
  • Brigo-Mercurio와 유사하지만 단순화된 구조

적용 상품:

  • 유럽형 스왑션

Brigo-Mercurio 모델 (Bivariate Swap Rate)

가정: 두 스왑 레이트의 이변량 모델

주요 특징:

  • CMS 스프레드 옵션 가격결정
  • 두 지수 간의 상관관계 모델링

적용 상품:

  • CMS 스프레드 옵션

수치 방법

모델 구현을 위한 수치적 방법:

방법설명주요 용도
해석적 공식폐쇄형 해유럽형 옵션, 캡/플로어
트리 (Tree)이항/삼항 트리미국형/베르무단 옵션
유한차분법 (Finite Difference)PDE 수치해복잡한 옵션, 바리어
몬테카를로시뮬레이션복잡한 파생상품, 패스의존형

모델 선택 가이드

graph TD
    A[옵션 유형] --> B{유럽형?}
    B -->|Yes| C{변동성 스마일?}
    B -->|No| D{미국형?}
    C -->|Yes| E[SABR]
    C -->|No| F[Black]
    D -->|Yes| G{자산 클래스?}
    D -->|No| H[LGM/Hull-White]
    G -->|FX/주식| I[BAW]
    G -->|금리| H

설정 방법

가격결정 엔진은 pricingengine.xml에서 구성합니다:

<Product productType="Swaption">
  <Model>LGM</Model>
  <ModelParameters>
    <Lambda>0.01</Lambda>
    <Volatility>0.01</Volatility>
  </ModelParameters>
  <EngineParameters>
    <TimeSteps>100</TimeSteps>
    <Grid>301</Grid>
  </EngineParameters>
</Product>

관련 개념

보정 (Calibration)

모델 파라미터는 시장 데이터로부터 보정됩니다:

  1. 변동성 보정: 캡/플로어, 스왑션 가격 → SABR 파라미터
  2. LGM 보정: 스왑션 가격 → 평균 회귀 및 변동성
  3. 상관관계 보정: 다중 자산 상품 → 상관관계 행렬

성능 고려사항

  • 해석적 모델: 가장 빠름 (Black, BAW)
  • 트리/유한차분: 중간 속도 (LGM, Hull-White)
  • 몬테카를로: 가장 느리지만 유연함

그래프 뷰

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